Analytische meetkunde - gratis cursus van Open Education, training 13 weken, ongeveer 5 uur per week, Datum 29 november 2023.

Prijzen en prestaties Russische regeringsprijs op het gebied van onderwijs voor 2010, geëerde leraar van MIPT.

De cursus bestaat uit 12 trainingsweken en één examenweek

Week 1. Matrices

01.00 Introductie

01.01 Matrixdefinitie

01.02 Bewerkingen met matrices

01.02.01 Probleem. Berekening van lineaire combinatie van matrices

02/01/02 Probleem. Het vinden van de getransponeerde matrix

01.03 Product van matrices. Deel 1

01.04 Product van matrices. Deel 2

01/04/01 Probleem. Het product van matrices berekenen

04/01/02 Probleem. Het bestaan ​​van een product controleren en berekenen 

01/04/03 Probleem. Een matrix berekenen tot de macht nde. voorbeeld 1

01/04/04 Probleem. Een matrix berekenen tot de macht nde. Voorbeeld 2

01/04/05 Probleem. Een matrixpolynoom berekenen

01/04/06 Probleem. Controle van de geldigheid van matrixgelijkheid

01/04/07 Probleem. Een matrix berekenen tot een numerieke macht

01.05 Matrixdeterminant

01.05.01 Probleem. Berekening van de determinant van een matrix

01.06 Regel van Cramer

01/06/01 Probleem. Een stelsel van lineaire vergelijkingen oplossen met behulp van de methode van Cramer

Week 2. Vectoren

02.01 Bepaling van een gericht segment, vector

02.02 Herhaling van de cursus geometrie op school 

02.02.01 Probleem. Bewijs van de ongelijkheid voor een vierhoek in de ruimte

02.02.02 Probleem. Bewijs van gelijkheid voor een n-hoek

02.03 Lineaire combinatie van vectoren

02.04 Lineaire afhankelijkheid en onafhankelijkheid van vectoren 

02.05 Criterium voor lineaire afhankelijkheid van een systeem van vectoren

02.06 Basis

02.06.01 Probleem. Vectorcoördinaten vinden

02.06.02 Probleem. Het vinden van de coördinaten van een parallellepipedum met behulp van vectoren

02.07 Vervanging basis

07/02/01 Probleem. De coördinaten van een prismapunt vinden in een nieuw coördinatensysteem

07/02/02 Probleem. Het vinden van de coördinaten van een parallellogrampunt in een nieuw coördinatensysteem

02.08 Cartesisch coördinatensysteem (DCS)

02.08.01 Probleem. Controleren of vectoren een basis vormen

02.09 Vervanging van ODSC

02.09.01 Probleem. Het vinden van de coördinaten van de oorsprong en basisvectoren in de nieuwe en oude coördinatensystemen

02.09.02 Probleem. Het vinden van de coördinaten van een vector in de nieuwe basis via de coördinaten in de oude

Week 3. Product van vectoren

03.01 Puntproduct van vectoren

03.02 Projectie van een vector op een vector die niet nul is

03.03 Eigenschappen van het scalaire product van vectoren. Deel 1

03.04 Eigenschappen van het scalaire product van vectoren. Deel 2

04/03/01 Probleem. Het vinden van de lengtes van de zijden en hoeken van een parallellogram met behulp van basisvectoren

04/03/02 Probleem. Het vinden van de orthogonale projectie van een vector op een lijn

03.05 Oriëntatie van bases. Georiënteerde volumes en gebieden

03.06 Gemengd product van vectoren. Deel 1

03.07 Gemengd product van vectoren. Deel 2

03.08 Vectorproduct van vectoren. Deel 1

03.09 Vectorproduct van vectoren. Deel 2

03.09.01 Probleem. Bewijs van coplanariteit van vectoren

03.09.02 Probleem. Het gebied van een driehoek vinden met behulp van vectorcoördinaten

09/03/03 Probleem. Bewijs van gelijkheid voor niet-collineaire vectoren

09/03/04 Probleem. Het volume van een tetraëder en de hoogte ervan vinden

03.10 Dubbel kruisproduct

03.10.1 Probleem. Identiteitsbewijs

03.11 Wederzijdse basis

Week 4 Deel 1. Vliegtuig in de ruimte

04.01 Definitie van een vlak in de ruimte

04.02 Verschillende vormen van schrijven van de vergelijking van een vlak

04.03 Algemene vlakvergelijking

04.03.01 Probleem. Vliegtuigvergelijking

Week 4 Deel 2. Rechtstreeks in een vliegtuig. Rechte lijn en vlak in de ruimte

04.04 Rechte lijn in een vlak

04.04.01 Probleem. Het vinden van de straalvector van een punt

04.04.02 Probleem. Voorwaarden voor snijpunt, evenwijdigheid en loodrechtheid van lijnen in een vlak

04.05 Algemene vergelijking van een rechte lijn in een vlak. Rechte lijn in de ruimte

04.05.01 Probleem. Het vinden van de straalvector van het snijpunt van lijnen

04.05.02 Probleem. Vergelijking van een lijn die twee schuine lijnen snijdt

04.05.03 Probleem. Vergelijking van een lijn die door een punt gaat en evenwijdig is aan een andere lijn

04.05.04 Probleem. Voorwaarde voor het snijpunt van een lijn en een vlak

04.06 Onderlinge rangschikking van lijnen en vlakken

06/04/01 Probleem. Vergelijking van een vlak dat door een punt gaat en evenwijdig is aan twee lijnen

06/04/02 Probleem. Vergelijking van een vlak dat door één lijn gaat en evenwijdig is aan een andere lijn

04.07 Rechte lijn en vlak in PDSC

04.07.01 Probleem. Vergelijking van lijnen die door één punt gaan en op gelijke afstand liggen van twee andere punten

04.07.02 Probleem. Vergelijking van de bissectrice van de hoek tussen lijnen

04.08 Enkele metrische problemen in PDSC. Deel 1

04.08.01 Probleem. Vergelijking van lijnen evenwijdig aan een andere lijn en gescheiden van een punt op enige afstand

04.08.02 Probleem. Algemene vergelijking van een vlak dat door een punt en een lijn gaat. Afstand van dit vlak tot een bepaald punt

04.09 Enkele metrische problemen in PDSC. Deel 2

04.09.01 Probleem. Afstand tussen lijnen

Week 5. Algebraïsche lijnen van tweede orde in het vlak

05.01 Definitie van algebraïsche lijnen en oppervlakken

05.02 Tweede orderregels in een vlak. Ellipsvergelijking

05.03 Vergelijking van een denkbeeldige ellips, een paar denkbeeldige snijdende lijnen, een hyperbool, een paar snijdende lijnen

05.04 Vergelijking van een parabool, paren evenwijdige lijnen, paren denkbeeldige parallelle lijnen, paren samenvallende lijnen

05.05 Midden van de lijn. Elliptische en hyperbolische lijnen

05.05.01 Probleem. Een type tweede-orde curve gedefinieerd door een vergelijking. De canonieke vergelijking van een curve en het canonieke coördinatensysteem. voorbeeld 1

05.05.02 Probleem. Een type tweede-orde curve gedefinieerd door een vergelijking. De canonieke vergelijking van een curve en het canonieke coördinatensysteem. Voorbeeld 2

05.05.03 Probleem. Een type tweede-orde curve gedefinieerd door een vergelijking. De canonieke vergelijking van een curve en het canonieke coördinatensysteem. Voorbeeld 3

Week 6 Het bestuderen van de eigenschappen van ellips, hyperbool en parabool

06.01 Ellips

01/06/01 Probleem. Canonische ellipsvergelijking

06.02 Eigenschappen van de ellips

06.03 Vergelijking van een raaklijn aan een ellips

03/06/01 Probleem. Vergelijking van raaklijnen aan een ellips

03/06/02 Probleem. Hoek tussen de raaklijn en de Ox-as

06.04 Hyperbool

04/06/01 Probleem. Excentriciteit van de hyperbool

06.05 Geometrische eigenschappen van een hyperbool

05/06/01 Probleem. Bewijs van de constantheid van het product van de afstand van elk punt van een hyperbool tot zijn asymptoten

06.06 Parabool

06.06.01 Probleem. Paraboolvergelijking

06.06.02 Probleem. Vergelijkingen van raaklijnen aan een parabool

06.07 Ellips, hyperbool en parabool in het poolcoördinatensysteem

Week 7 Tweede orde oppervlak

07.01 Rotatievlak

07.02 Ellipsoïde

07.03 Tweede orde kegel

07.04 Hyperboloïde met één vel

07.05 Rechtlijnige generatoren van een hyperboloïde uit één vel

07.06 Hyperboloïde, elliptische en hyperbolische paraboloïde met twee vellen

06/07/01 Probleem. Oppervlaktetype bepalen

06/07/02 Probleem. Gemeenschappelijke punten van een lijn en oppervlakken van de tweede orde

06/07/03 Probleem. Parametrische vergelijkingen van rechtlijnige generatoren van een bepaald oppervlak

06/07/04 Probleem. Type oppervlak gevormd door het draaien van een rechte lijn

Week 8 Mappingen en transformaties

08.01 Definitie van mapping en transformatie

08.02 Eén-op-één mapping. Product van toewijzingen

08.03 Eigenschappen van het product van vlaktransformaties. Coördineren van de registratie van mappings

08.04 Orthogonale vlaktransformaties

08.05 Lineaire en affiene transformaties

08.06 Afbeelding van een vector tijdens lineaire transformatie. Deel 1

08.07 Afbeelding van een vector tijdens lineaire transformatie. Deel 2

08.08 Geometrische eigenschappen van affiene transformaties

08.08.01 Probleem. Symmetrie rond een rechte lijn

08.08.02 Probleem. Een affiene transformatie van een vlak dat bepaalde lijnen in zichzelf overneemt en een bepaald punt in een ander punt

08.09 Veranderende gebieden tijdens affiene transformatie

08.10 Afbeeldingen van lijnen van de tweede orde onder affiene transformatie

08.10.01 Probleem. Curvetype van de tweede orde

08.10.02 Probleem. Bewijs van gelijkheid van sommen van oppervlakten van driehoeken

08.11 Ontleding van een affiene transformatie

08.11.01 Probleem. Weergave van een gegeven affiene transformatie als producten van drie transformaties

Week 9 Determinanten van matrices van de n-de orde

09.01 Determinanten

01/09/01 Probleem. Bepaler van orde n. voorbeeld 1

01/09/02 Probleem. Bepaler van orde n. Voorbeeld 2

09.02 Eigenschappen van determinant. Deel 1

09.03 Eigenschappen van determinant. Deel 2

09.04 Eigenschappen van determinant. Deel 3

04/09/01 Probleem. Vandermonde-determinant

04/09/02 Probleem. Determinant van orde 2n

09.05 Formule voor volledige ontwikkeling van determinant

05/09/01 Probleem. Volledige ontledingsformule voor een matrix van de vijfde orde

09.06 SLAU in een speciaal geval

09.07 Regel van Cramer in het algemene geval

Week 10 Matrix-rang

10.01 Minderjarigen van willekeurige volgorde

10.02 Matrixrang

02/10/01 Probleem. Rang- en basissysteem van matrixkolommen

02/10/02 Probleem. Het schatten van de rangorde van een matrix van orde n

02/10/03 Probleem. Bewijs van rangongelijkheid voor alle matrices van dezelfde grootte

02/10/04 Probleem. Niet-nul minderjarige van orde r van een matrix van rang r

02/10/05 Probleem. Schatting van de matrixrangschikking

10.03 De matrix terugbrengen tot een vereenvoudigde vorm

10.04 Gaussische methode

10.05 Basis kleine stelling

05/10/01 Probleem. Weergave van een matrix door het product van matrices

10.06 Matrixrangstelling

06/10/01 Probleem. Bovengrens voor de rangorde van het product van twee matrices

06/10/02 Probleem. Bewijs van gelijkheid van de rang van een matrix met de hoogste orde van zijn minderjarigen

Week 11 omgekeerde matrix

11.01 Definitie van inverse matrix

11.02 Elementen van een inverse matrix uitdrukken via elementen van de oorspronkelijke matrix

 02/11/01 Probleem. Berekening van de inverse matrix. voorbeeld 1

02/11/02 Probleem. Het vinden van de inverse matrix. Voorbeeld 2

11.03 Eigenschappen van een inverse matrix

03/11/01 Probleem. Controle van de geldigheid van de identiteit voor matrices

11.04 Nog een bewijs van het bestaan ​​van een inverse matrix voor een niet-singuliere vierkante matrix

11.05 Karakteristieke polynoom van een matrix

05/11/01 Probleem. omgekeerde matrix

11.06 Stelling van Hamilton-Cayley

11.07 Elementaire transformaties zoals matrixvermenigvuldiging

07/11/01 Probleem. Berekening van de inverse matrix via elementaire transformaties. voorbeeld 1

07/11/02 Probleem. Het vinden van de inverse matrix. Voorbeeld 2

Week 12 Algemene theorie van lineaire systemen

12.01 Stelling van Kronecker-Capelli

12.02 Stelling van Fredholm

12.03 Algemene oplossing van inhomogene SLAE

12.04 Fundamentele matrix van een homogene SLAE. Deel 1

12.05 Fundamentele matrix van een homogene SLAE. Deel 2

05.12.01 Probleem. Fundamentele matrix van SLAE

05.12.02 Probleem. Controle van de fundamentele matrix van SLAE

05.12.03 Probleem. SLAE-oplossing

05.12.04 Probleem. Algemeen beeld van een willekeurige fundamentele matrix van SLAE's

05/12/05 Probleem. Gelijkwaardigheidsvoorwaarde voor SLAE's

12.06 Algemene oplossing van inhomogene SLAE

06/12/01 Probleem. SLAE-oplossing

06.12.02 Probleem. Compatibiliteit van heterogene SLAE's

Week 13 eindexamen