"Vergelijkingen van wiskundige natuurkunde" - cursus 2800 wrijven. van MSU, training 15 weken. (4 maanden), Datum: 30 november 2023.
Gemengde Berichten / / December 02, 2023
De cursus is bedoeld voor bachelors, masters en specialisten die gespecialiseerd zijn in wiskundige, technische of natuurwetenschappelijke disciplines, maar ook voor universitaire docenten. Het doel van de cursus is om de student kennis te laten maken met een reeks klassieke vraagstukken op het gebied van vergelijkingen met de wiskundige natuurkunde en om de student de basismethoden aan te leren voor het bestuderen van dergelijke vergelijkingen. De cursus behandelt klassiek materiaal over de vergelijkingen van de wiskundige natuurkunde (partiële differentiaalvergelijkingen) binnen een semester van de studie. De secties “Lineaire en quasilineaire vergelijkingen van de eerste orde”, “Classificatie van lineaire vergelijkingen”, “Golfvergelijking”, "Parabolische vergelijking", "Fundamentele oplossingen", "De vergelijking van Laplace". We zullen kennis maken met de klassieke formuleringen van problemen - het Cauchy-probleem, grens probleem. Laten we de basismethoden voor het bestuderen van vergelijkingen onder de knie krijgen: directe integratie, de methode van voortzetting van oplossingen, de Fourier-methode, de methode van fundamentele oplossingen, de methode van potentiëlen. We zullen ons de afleiding van deze vergelijkingen vaak herinneren bij problemen van de wiskundige natuurkunde en de grenzen van de toepasbaarheid van onze modellen.
Vorm van studie
Correspondentiecursussen waarbij gebruik wordt gemaakt van technologieën voor afstandsonderwijs
Toelatingseisen
Beschikbaarheid van VO of SPO
2
cursusDoctor in de fysische en wiskundige wetenschappen, hoogleraar Positie: hoogleraar van de afdeling fundamentele en toegepaste wiskunde, faculteit ruimteonderzoek, Staatsuniversiteit van Moskou, vernoemd naar M.V. Lomonosov
1. Eerste ontmoeting.
Inleidend woord. Basisprincipes van het werken met vergelijkingen uit de wiskundige natuurkunde. Voorbeelden van eenvoudige vergelijkingen. Classificatie. Eenvoudige vergelijkingen oplossen door ze te reduceren tot gewone differentiaalvergelijkingen. Variabelen in een vergelijking vervangen.
2. Vergelijkingen van de eerste orde – lineair en quasilineair.
Lineaire vergelijkingen. Een geschikte vervanging vinden - een systeem van gewone differentiaalvergelijkingen van de eerste orde samenstellen en oplossen. Eerste integralen van het systeem. Kenmerken. Quasilineaire vergelijkingen. Het vinden van een oplossing in een impliciete vorm.
3. Cauchy-probleem. Classificatie van lineaire vergelijkingen van de tweede orde.
Verklaring van het Cauchy-probleem. Stelling over het bestaan en het unieke karakter van een oplossing voor het Cauchy-probleem. Classificatie van lineaire vergelijkingen van de tweede orde met constante coëfficiënten. Reductie tot canonieke vorm.
4. Hyperbolische, parabolische en elliptische vergelijkingen.
Classificatie van lineaire vergelijkingen van de tweede orde met variabele coëfficiënten in het vlak. Hyperbolisch, parabolisch en elliptisch type. Hyperbolische vergelijkingen oplossen. Problemen met initiële en randvoorwaarden.
5. String-vergelijking.
Eendimensionale golfvergelijking op de gehele as. Voorwaartse en achterwaartse golf. d'Alemberts formule. Duhamel-integraal. Randvoorwaarden voor de vergelijking op de halve as. Basistypen randvoorwaarden. Vervolg van de oplossing. Het geval van een eindig segment.
6. Fourier-methode waarbij de stringvergelijking als voorbeeld wordt gebruikt.
Het idee van de Fourier-methode. De eerste stap is het vinden van een basis. De tweede stap is het verkrijgen van gewone differentiaalvergelijkingen voor de Fourier-coëfficiënten. De derde stap houdt rekening met de initiële gegevens. Convergentie van reeksen.
7. Diffusievergelijking (eindig segment).
Afleiding van de vergelijking. Probleemstelling (begin- en randvoorwaarden). Fourier-methode. Rekening houden met de rechterkant en inhomogeniteit in randvoorwaarden. Convergentie van reeksen.
8. Diffusievergelijking (hele as).
Fourier-transformatie, inversieformule. De vergelijking oplossen met behulp van de Fourier-transformatie. Stelling – rechtvaardiging van de methode (twee gevallen). Poisson-formule. Het geval van een vergelijking met de rechterkant.
9. Gegeneraliseerde functies.
De formule van Poisson schrijven als een convolutie. Registratie in de vorm van een convolutie van de oplossing van de warmtevergelijking op een eindig segment. Schwartz-klasse. Voorbeelden van functies uit de klasse. Definitie van gegeneraliseerde functies, verbinding met klassieke functies. Vermenigvuldiging van een gegeneraliseerde functie met een basisfunctie, differentiatie. Convergentie van gegeneraliseerde functies. Voorbeelden van generieke functies.
10. Werken met generieke functies.
Het oplossen van gewone differentiaalvergelijkingen in gegeneraliseerde functies. Fourier-transformatie van gegeneraliseerde functies. Convolutie. Direct product. De drager van een gegeneraliseerde functie. Het oplossen van de inhomogene eendimensionale warmtevergelijking met behulp van de fundamentele oplossing. Fundamentele oplossing van een gewone differentiaaloperator op een interval.
11. Fundamentele oplossingen.
Afleiding van de Poisson-formule voor de multidimensionale warmtevergelijking. Afleiding van de formule van Kirkhoff. Afleiding van de Poisson-formule voor de golfvergelijking. Problemen oplossen met behulp van de methode van scheiding van variabelen, de methode van superpositie.
12. De vergelijking van Laplace.
Afleiding van de vergelijking van Laplace. Vectorveld – potentieel, stroming door een oppervlak. Volumepotentieel. Eenvoudig laagpotentieel. Dubbellaagspotentieel. Logaritmisch potentieel.
13. Dirichletprobleem, Neumannprobleem en de functie van Green.
Harmonische functies. Zwak extremumprincipe. De stelling van Harnack. Strikt maximumprincipe. Uniciteitsstelling. Stelling van de gemiddelde waarde. Eindeloze gladheid. De stelling van Liouville. Groene formule. De functie van groen, zijn eigenschappen. Oplossing van het Poisson-probleem met Dirichlet-omstandigheden met behulp van de Green's-functie. Andere grenswaardeproblemen. Constructie van de functie van Groen volgens de reflectiemethode.
14. Multidimensionale Fourier-methode.
Problemen oplossen met behulp van de Fourier-methode. Diverse randvoorwaarden. Bessel-functies. Legendre-polynoom. Terugblik op de voltooide cursus. Samenvatten.